Annuitet betydning

Annuitet betegner i finans og matematik en række af lige store betalinger, der falder med faste mellemrum (fx hver måned eller hvert år). I daglig tale bruges ordet også om den faste ydelse på et annuitetslån, og i pensionssammenhæng kan en annuitet betegne en livrente.

Definition og betydning

En annuitet er en regelmæssig betalingsstrøm, hvor hver enkelt ydelse har samme beløb og samme tidsafstand. Begrebet anvendes i flere nært beslægtede betydninger:

• Kontantstrøm: En sekvens af lige store ydelser ved faste terminer (fx hver måned).
• Lån: Et lån med fast ydelse, hvor summen af rente + afdrag er konstant fra termin til termin (annuitetslån).
• Opsparing: Løbende indbetalinger af samme beløb for at opnå en fremtidig sum (annuitetsopsparing).
• Pension/forsikring: Udbetalinger af samme størrelse i en periode eller livsvarigt (livrente).

Det centrale kendetegn er, at ydelsen er konstant, men fordelingen mellem rente og afdrag ændrer sig over tid ved lån: i starten udgør renten en større andel, mens afdraget vokser senere.

Etymologi

Ordet stammer fra latin annuus (“årlig”), via middelalderlatin annuitas og fransk annuité. I dansk fagsprog optræder “annuitet” og “annuitetsydelse” i finansiel matematik og kreditvæsen fra 1700–1800-tallet og frem.

Centrale begreber og formler

Nedenfor bruges disse symboler:

• A: fast ydelse pr. termin
• r: rentesats pr. termin (effektiv)
• n: antal terminer
• PV: nutidsværdi (present value)
• FV: fremtidsværdi (future value)

Type/koncept	Beskrivelse	Formel
Nutidsværdi af annuitet (bagudbetalt)	Værdi i dag af ydelser betalt ved slut af hver termin	PV = A * (1 - (1 + r)^(-n)) / r
Fremtidsværdi af annuitet (bagudbetalt)	Værdi på tidspunkt n af ydelser betalt ved slut af hver termin	FV = A * ((1 + r)^n - 1) / r
Ydelse givet PV (annuitetslån)	Fast ydelse der tilbagebetaler PV over n terminer	A = PV * r / (1 - (1 + r)^(-n))
Annuitet forud (annuity due)	Betalinger ved start af hver termin	Multiplicer ovenstående PV/FV med (1 + r)
Perpetuitet (evig annuitet)	Uendelig serie af ydelser	PV = A / r
Voksende annuitet	Ydelse vokser med g pr. termin	PV = A₁ * (1 - ((1 + g)/(1 + r))^n) / (r - g) (for r ≠ g)

Relaterede faktorer:

• Annuitetsfaktor (PV): AF_PV(r,n) = (1 - (1+r)^(-n)) / r
• Annuitetssum (FV-faktor): AF_FV(r,n) = ((1+r)^n - 1) / r

Typer af annuiteter

• Bagudbetalt annuitet (ordinær): Ydelser ved periodens slutning. Standard i mange lån.
• Annuitet forud: Ydelser ved periodens start (fx mange husleje- og leasingaftaler).
• Annuitetslån: Lån med fast ydelse; andelen af rente falder over tid, afdrag stiger.
• Annuitetsopsparing: Fast indbetaling der akkumulerer til en fremtidsværdi.
• Livrente (livsvarig eller tidsbegrænset): Udbetaling af fast beløb i en periode, evt. til død; beregnes aktuarmæssigt.
• Perpetuitet: Teoretisk uendelig annuitet (bruges bl.a. i værdiansættelse).
• Voksende annuitet: Ydelser stiger fx med inflation.

Anvendelser i praksis

• Boligfinansiering: Realkredit- og banklån som annuitetslån.
• Pension og forsikring: Livrenter og ratepensioner, ofte indekserede.
• Leasing: Faste leasingydelser (ofte annuitet forud).
• Investering: Værdiansættelse af projekter med stabile cashflows, annuitetsobligationer.
• Regnskab: Diskontering af leasingforpligtelser (IFRS 16) og hensættelser.

Eksempler på brug

1) Annuitetslån (årlige terminer)

Lån: PV = 1.000.000 kr., rente r = 4% p.a., løbetid n = 30. Ydelsen:

A = 1.000.000 * 0,04 / (1 - 1,04^(-30)) ≈ 57.808,72 kr. pr. år

År	Ydelse	Rente	Afdrag	Restgæld
1	57.808,72	40.000,00	17.808,72	982.191,28
2	57.808,72	39.287,65	18.521,07	963.670,21

Bemærk: Ydelsen er konstant, men afdraget stiger år for år.

2) Annuitetsopsparing (bagudbetalt)

Mål: FV = 500.000 kr. om 10 år, afkast r = 3% p.a.. Årlig indbetaling:

A = 500.000 * 0,03 / ((1,03)^10 - 1) ≈ 43.625 kr. pr. år

3) Perpetuitet

Evig årlig udbetaling A = 40.000 kr. ved diskonteringsrente r = 5%:

PV = 40.000 / 0,05 = 800.000 kr.

4) Voksende annuitet

Første ydelse A₁ = 10.000 kr., vækst g = 2%, rente r = 5%, n = 20:

PV ≈ 10.000 * (1 - ((1,02/1,05)^20)) / (0,05 - 0,02) ≈ 146.000–147.000 kr.

5) Annuity due (forud)

Samme som eksempel 2, men betaling ved periodestart: multiplicer PV/FV med (1 + r) eller divider den krævede indbetaling med (1 + r), da pengene arbejder én periode mere.

Synonymer og beslægtede ord

• Synonymer/nært beslægtede: annuitetsydelse, ratebetaling, lige store periodiske betalinger, livrente (i pensionskontekst), annuitetsfaktor.
• Relaterede begreber: amortisering/afdrag, hovedstol, restgæld, termin, kupon, rentes rente, diskontering.

Antonymer og kontraster

• Serielån: Fast afdrag, faldende ydelse (kontrast til konstant ydelse).
• Stående lån (bullet): Kun renter løbende, hovedstol betales til sidst.
• Engangsbeløb: Én betaling snarere end en annuitetsrække.
• Irregulær betalingsrække: Varierende beløb eller uregelmæssige intervaller.

Historisk udvikling

• Antikken og middelalder: Årlige tributter og jordlejeformer minder om simple annuiteter.
• 1600–1700-tallet: Moderne annuitetsregning udvikles af bl.a. Halley og de Moivre i forbindelse med livrenter og dødelighedstabeller.
• 1800-tallet og frem: Udbredt brug i kreditforeninger, realkredit og offentlig finans; annuitetslån bliver standard i boligfinansiering i Danmark.
• I dag: Grundbegreb i finansiel matematik, aktuarmatematik, regnskab og investering.

Fejlkilder og praktiske bemærkninger

• Nominel vs. effektiv rente: Sørg for at r svarer til terminens længde (månedlig, kvartalsvis, årlig). Konverter om nødvendigt.
• Gebyrer og bidrag: Låneydelser kan indeholde gebyrer/bidragssatser ud over renten; disse ændrer den reelle ydelse og effektiv rente.
• Forud vs. bagud: Angiv tydeligt om betalinger sker ved start eller slut af perioden.
• Inflation og indeksering: Overvej voksende annuitet, hvis ydelser skal følge prisudviklingen.
• Skat: Skattemæssig behandling af renter, afdrag og pensionsudbetalinger påvirker nettoeffekten.

Se også

• Annuitetslån
• Annuitetsopsparing
• Livrente
• Annuitetsfaktor
• Perpetuitet
• Serielån
• Rentes rente
• Diskontering