E i matematik betydning

Konstanten e kan defineres på flere ækvivalente måder:

• Som grænseværdi (kontinuerlig forrentning): e = lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ.
• Som inverse til den naturlige logaritme: e er det unikke tal, der opfylder ln(e) = 1.
• Som potensrække: e = ∑_k=0^∞ 1/k! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + …
• Gennem differentialligninger: Funktionen y = e^x er den eneste (op til konstant faktor), der opfylder y′ = y og y(0) = 1.
• Som grænse for differenskvotient: e = lim_h→0(1 + h)^1/h.

En praktisk afrunding er e ≈ 2,71828182845904523536.

• Irrationelt og transcendent: e kan ikke skrives som en brøk af heltal (irrationelt) og er ikke løsning til nogen ikke-triviel polynomiel ligning med heltalskoefficienter (transcendent; bevist af Hermite i 1873).
• Dimensionløst: e har ingen fysiske enheder og kan derfor indgå bredt i formler på tværs af fagområder.
• Monotoni og positivitet: e^x > 0 for alle reelle x, vokser for x > 0 og aftager for x < 0.
• Skærpede approksimationer: For alle n ∈ ℕ gælder (1 + 1/n)ⁿ < e < (1 + 1/n)ⁿ⁺¹.

John Napier (1614) introducerede logaritmer, men ikke e eksplicit. Jacob Bernoulli opdagede i slutningen af 1600-tallet, at grænsen for (1 + 1/n)ⁿ beskriver kontinuerlig forrentning. Leonhard Euler indførte symbolet e og systematiserede konstantens egenskaber i 1700-tallet, bl.a. i værket “Introductio in analysin infinitorum” (1748). I 1873 viste Charles Hermite, at e er transcendent.

Symbolet e blev valgt af Euler. Der er ikke fuld enighed om motivet (muligvis for “eksponentiel” eller som en simpel bogstavvalg i en sekvens). På dansk kaldes e ofte Eulers tal, den naturlige logaritmes grundtal eller eksponentialkonstanten. Nogle kilder bruger også betegnelsen Napiers konstant, selv om Napiers oprindelige logaritmer ikke direkte var base e.

• Kontinuerlig rente/forrentning: A = P·e^rt. Eksempel: 1.000 kr. til 5% p.a. i 3 år med kontinuerlig forrentning: 1000·e^0,15 ≈ 1.161,83 kr.
• Vækst/henfald: N(t) = N₀·e^kt. Radioaktivt henfald har k = −λ, og T_1/2 = ln(2)/λ. Efter tre halveringstider: N = N₀·e^{−3 ln 2} = N₀/8.
• Differentialligninger: y′ = ky ⇒ y = C·e^kt. Bruges i alt fra befolkningsdynamik til RC-kredsløb.
• Normalfordeling: φ(x) = (1/(σ√(2π)))·e^{−(x−μ)2/(2σ2)}. For standardnormalfordeling er φ(0) = 1/√(2π) ≈ 0,399.
• Komplekse tal (Eulers formel): e^ix = cos(x) + i·sin(x). Specielt: e^iπ + 1 = 0.
• Serietilnærmelse: e ≈ 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,71666… (allerede efter 5 led er vi tæt på).
• Grænseværdi i praksis: (1 + 1/n)ⁿ for n = 1, 2, 5, 10, 100, 1000 giver ca. 2; 2,25; 2,488; 2,594; 2,705; 2,717, hvilket nærmer sig e.
• Uligheder og approksimation: e^x ≥ 1 + x for alle reelle x (tangential-ulighed), med lighed kun for x = 0.
• Informationsteori: Entropi i “nats” bruger ln; sammenhængen til bits er 1 nat = 1/ln(2) ≈ 1,4427 bits.

• Synonymer: Eulers tal; den naturlige logaritmes grundtal; eksponentialkonstanten; (lempeligt) Napiers konstant.
• Relaterede termer: naturlig logaritme (ln), eksponentialfunktion (exp), logaritmebaser 10 og 2 (log, lg), Eulers formel, Eulers identitet, π, Euler-Mascheroni-konstanten γ (ikke det samme som e).

Der findes ingen egentlige antonymer til et tal som e. Kontrasterende begreber kan være andre logaritmebaser:

• Base 10: log₁₀(x) = ln(x)/ln(10).
• Base 2: log₂(x) = ln(x)/ln(2).
• Regning i base e er ofte “naturlig”, fordi differential- og integralregning får de enkleste former.

• e^x+y = e^x·e^y, og e^−x = 1/e^x.
• e⁰ = 1; e^{ln x} = x for x > 0; ln(e^x) = x.
• d/dx e^ax = a·e^ax; ∫ e^ax dx = (1/a)·e^ax + C (a ≠ 0).
• e = ∑_k=0^∞ 1/k!; e^x = ∑_k=0^∞ x^k/k!.
• e = lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ; mere generelt: e^x = lim_n→∞(1 + x/n)ⁿ.
• Kompleks: e^ix = cos x + i sin x; |e^ix| = 1.
• Ulighed: e^x ≥ 1 + x (konveksitet/tangent-ulikhed).

• Serier: Brug ∑ 1/k! eller for e^x Maclaurin-serien; effektiv for små |x|.
• Grænser: (1 + 1/n)ⁿ eller (1 + x/n)ⁿ nærmer sig e eller e^x som n bliver stor.
• Forsatte brøker og hurtige algoritmer: Kendte fortsatte brøker for e konvergerer hurtigt.
• I programmering: Funktionen exp(x) giver e^x, og ln(x) eller log(x) giver naturlig logaritme. Pas på, at “E” i 1.23E4 i mange sprog betyder “·10⁴” (videnskabelig notation), ikke konstanten e.

• e er ikke det samme som Euler-Mascheroni-konstanten γ ≈ 0,57721.
• e er ikke 2,71 med endelig decimaludvikling; den er uendelig og ikke-periodisk.
• Store E i talnotation (f.eks. 6.02E23) betyder “gange 10 potens”, ikke eksponentialfunktionen.
• Basis e vælges ikke “af vane”, men fordi det giver de enkleste afledte og integraler.

• Eksponentialfunktion (exp)
• Naturlig logaritme (ln)
• Eulers formel og Eulers identitet
• Normalfordeling
• Komplekse tal og polær form
• Euler-Mascheroni-konstanten γ (kontrast)
• π (andre fundamentale konstanter)