F'(x) betydning

I matematikken betegner symboludtrykket f (x) den værdi, en funktion f antager for et givet argument x. Når man skriver f(x), læses det som ”f af x” og betyder ganske enkelt: ”Indsæt tallet (eller objektet) x i reglen f, og beregn resultatet”.

Betydning og anvendelse

Notationens primære formål er at angive, at der er tale om en afbildning fra en mængde af inputværdier (definitionsmængden) til en mængde af outputværdier (værdimængden). Skriver man for eksempel

f(x) = x² + 3x – 4,

fortæller man, at f er en regel, som til hvert reelt tal x knytter tallet x² + 3x – 4.

Etymologi

• f stammer fra det latinske ”forma” eller ”functio” (funktion).
• (x) blev indført som explicit markør for variablen af blandt andre Leonhard Euler i 1700-tallet, hvor skriften Introductio in analysin infinitorum populariserede notationen.
• Sammenskrivningen f(x) har siden været den dominerende internationale standard til markering af funktioner.

Eksempler på brug

Synonymer og nært beslægtede termer

• φ(x), g(x), h(x) – andre populære funktionsbogstaver.
• y = f(x) – ligeværdig notation, hvor resultatet navngives y.
• afbildning – et mere generelt ord for det samme begreb.

Antonymer

Der findes ingen egentlige antonymer i sproglig forstand, men man kan kontrastere f(x) med

• konstanter (tal uden variabelafhængighed)
• relationer (fx x² + y² = 1) der ikke entydigt identificerer en funktionsværdi.

Historisk udvikling

Ideen om funktioner kan spores tilbage til Pierre de Fermat (1601-1665), men det var Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der først anvendte ordet ”function”. Leonhard Euler (1707-1783) formgav den moderne notationsform ved konsekvent at skrive f(x), og senere udvidede Joseph Fourier, Augustin Cauchy og Georg Cantor begrebet til også at omfatte trigonometriske, komplekse og endda transfinite domæner.

Relaterede matematiske operationer

• Sammensætning: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
• Differentiation: f′(x) = d/dx f(x)
• Integration: ∫ f(x) dx
• Analytisk fortsættelse: Udvidelse af definitionsområde for f(x).
• Parametrisering: x(t), y(t) erstatter f(x) med kurver.

Praktiske eksempler

Nedenfor vises en række konkrete situationer, hvor f(x) optræder:

1. Finans: f(t)=P·e^{rt} modellerer rentes-rente.
2. Fysik: f(t)=v₀t + ½at² beskriver position i lodret frit fald.
3. Statistik: Densitetsfunktionen f(x)=1/σ√{2π}·e^{-(x–μ)²/(2σ²)}.
4. Informatik: Hashfunktioner, fx h(x) = x mod m.
5. Musikakustik: Lydstyrke som funktion af tid f(t).
6. Biologi: Populationsvækst f(t)=K/(1+Ae^{–rt}).

Typografiske og notationsmæssige varianter

• f : X → Y – funktionspil; udviser domæne og kodomæne.
• λx.f(x) – lambda-notation anvendt i datalogi.
• ƒ(x) – kursiviseret, bruges typografisk i nogle lærebøger.
• F(x) – versal for stamfunktion eller distributionsfunktion.

Sammenfatning

Udtrykket f(x) er fundamentalt for næsten al moderne matematik. Det angiver et dynamisk forhold mellem variable størrelser og gør det muligt at beskrive, analysere og forudsige utallige fænomener – fra planetbaner til aktiekurser. Forståelsen af notationens betydning er derfor et af de vigtigste skridt på vejen til at mestre matematiske tankegange.