I matematik betydning

i er den imaginære enhed: et komplekst tal defineret ved egenskaben i² = −1. Hvert komplekst tal kan skrives som a + bi, hvor a (den reelle del) og b (den imaginære koefficient) er reelle tal.

• Modulus/norm: |i| = 1.
• Konjugeret: ī = −i.
• Potens-cyklus: i, −1, −i, 1 gentager sig for n = 1, 2, 3, 4, …
• Polar/eksponentiel form: i svarer til vinklen π/2, dvs. i = e^iπ/2.
• Geometrisk fortolkning: Multiplikation med i svarer til en rotation på 90° mod uret i det komplekse plan.

Betegnelsen “imaginær” stammer fra René Descartes (1600-tallet), der brugte ordet om rødder til polynomier uden reelle løsninger. Leonhard Euler (1700-tallet) populariserede bogstavet i for √−1, og notationerne fra Euler og Gauss gjorde begrebet matematisk legitimt.

I ingeniørfag (især elektroteknik) bruges ofte bogstavet j i stedet for i for at undgå konflikt med symbolet i for elektrisk strøm.

• Definition: i er et valg af en af de to rødder til x² + 1 = 0; den anden er −i.
• Potensmønster: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, …
• Komplekst konjugat: For z = a + bi er z̄ = a − bi; z·z̄ = a² + b².
• Rotation og skalering: Multiplikation med e^iθ roterer med vinklen θ; modulus bevares.

• Matematik: i er standard for den imaginære enhed.
• Ingeniørfag/fysik: j bruges ofte for √−1; i reserveres til strøm. MATLAB accepterer både 1i og 1j; Python bruger 1j; C/C++ har I/j som makro/notation i complex.h; Excel kan håndtere både i og j i komplekse funktioner.
• Andre betydninger af i (kontekstuelt): i kan være et indeks (i = 1, 2, …), en enhedsvektor (î) i fysik, eller et symbol for strøm. Konteksten afgør betydningen.
• Im(z) og Re(z): Notation for imaginær og reel del.

• Polynomium uden reelle rødder: x² + 1 = 0 har løsninger x = ±i.
• Euler’s formel: e^iθ = cos θ + i sin θ.
• Euler’s identitet: e^iπ + 1 = 0.
• Rotation: Multiplicer z med i for at rotere z 90°: z ↦ iz.
• Andengradsligning: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Hvis diskriminanten er negativ, skrives √(−d) = i√d.
• Rødder af enhed: n’te rødder af 1 er e^2πik/n = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n).
• Signalbehandling/Fourier: F(f) = ∫ x(t) e^−i2πft dt.
• Fysik (bølger): e^{i(kx − ωt)} beskriver en plan bølge; den reelle del er målelig.
• AC-kredsløb (ingeniør): Impedans Z = R + jωL + 1/(jωC).
• Differentialligninger: Løsningen til y″ + ω²y = 0 kan skrives som Re(Ae^iωt).

• Komplekse tal (a + bi), Argand-diagram (komplekse plan), modulus og argument.
• Komplekst konjugat, reel del, imaginær del.
• De Moivres sætning, rødder af enhed, kompleks logaritme.
• Gaussian integers (heltalspunkter a + bi), phasorer.

• Den imaginære enhed
• √−1 (udtrykket bruges uformelt; se faldgruber nedenfor)
• j (elektroteknisk notation)

• Reel (som modsætning til imaginær i talteori og analyse)
• Reelle tal kontra imaginære/komplekse tal

• 1500-1600-tallet: Cardano og Bombelli regner med “umiddelbart meningsløse” størrelser for at løse polynomier; Descartes navngiver dem “imaginære”.
• 1700-tallet: Euler indfører og udbreder brugen af bogstavet i; de Moivre og andre udvikler trigonometrisk form.
• 1800-tallet: Argand og Gauss giver geometrisk fortolkning; Cauchy etablerer kompleks analyse; begrebet bliver fuldt accepteret.
• 1900-: Udbredt i fysik, signalbehandling, kontrolteori, kvantemekanik m.m.

• i er ikke “et negativt tal under kvadratroden”. Den sikre definition er i² = −1. Skrivning som √−1 er konventionsafhængig og kan være tvetydig i analyse, hvor √· er flerfoldigt i C.
• ±i: Begge tal kvadreres til −1. Når man “vælger” i, bestemmes samtidig hvilken der er −i.
• Ordning: Komplekse tal har ingen naturlig “størrelsesorden” som de reelle.
• Kontekst: Forveksl ikke i (imaginær enhed) med i som indeks, enhedsvektor î eller strømstyrken i i fysik.
• Ingeniørnotation: Brug j i elektroniktekniske udregninger for at undgå forvirring med strømmen i.

• Matematisk standard: i som imaginær enhed, kursiv i tekstsat matematik.
• Elektroteknik: j anbefales bredt til den imaginære enhed.
• Programmering: Python: 1j; MATLAB/Octave: 1i eller 1j; C99: brug makroen I (komplekse litteraler); Excel/Google Sheets: COMPLEX med “i” eller “j”.

• Udtale: “i” udtales som bogstavet i (lang i-lyd); ofte omtalt som “den imaginære enhed i”.
• Eksempelsætninger:

  • “I matematik betegner i den imaginære enhed.”
  • “Løsningen bliver x = 2 ± 3i.”
  • “Vi roterer vektoren ved at gange med e^iθ.”

• Komplekse tal, kompleks plan (Argand-diagram)
• Euler’s formel og identitet
• Fourier-transform og phasorer
• De Moivres sætning og rødder af enhed
• Komplekst konjugat, modulus og argument