Medianen betydning

I statistik er medianen et mål for en datasæts centrale tendens. Når man sorterer værdierne, er medianen:

• Ved ulige antal observationer: den nøjagtigt midterste værdi.
• Ved lige antal observationer: gennemsnittet af de to midterste værdier.

Medianen er robust over for ekstreme værdier (outliers) og skæve fordelinger, fordi den kun afhænger af rækkefølgen, ikke af afstanden mellem værdierne.

I geometri er medianen i en trekant den linje, der går fra et hjørne til midtpunktet på den modstående side. De tre medianer skærer hinanden i trekantens tyngdepunkt (centroiden), der deler hver median i et forhold på 2:1 (nærmest hjørnet er den længste del).

I vej- og trafikplanlægning bruges “median” om det areal eller den barriere, der adskiller modsatrettede vognbaner - på dansk ofte kaldet midterrabat.

“Median” kommer af latin medianus (“i midten”), via fransk médian og engelsk median. På dansk bøjes ordet som fælleskøn: en median, medianen, medianer, medianerne. Udtale: [me-di-ˈɑːn] (omtrentligt).

Den statistiske term blev populariseret i slutningen af 1800-tallet (bl.a. af Francis Galton). I geometri kendes begrebet langt tilbage i den euklidiske tradition.

Trinvis metode (ugruppede data):

1. Sorter observationerne fra lavest til højest.
2. Hvis antallet er ulige, vælg værdien på position (n+1)/2.
3. Hvis antallet er lige, beregn gennemsnittet af værdierne på positionerne n/2 og n/2 + 1.

Eksempler:

• [2, 3, 5, 9] → sorteret: [2, 3, 5, 9]; median = (3 + 5)/2 = 4.
• [7, 1, 4] → sorteret: [1, 4, 7]; median = 4.

Vægtet median: Når observationer har vægte (f.eks. andele af en befolkning), er den vægtede median den værdi, hvor den kumulerede vægt når 0,5. Eksempel: værdier [10, 20, 30] med vægte [0,2; 0,5; 0,3] → den kumulerede vægt passerer 0,5 ved 20, så medianen = 20.

Grupperede data (intervaller): Medianen kan estimeres ved lineær interpolation i det interval, hvor den kumulerede frekvens når n/2. En udbredt formel er: median ≈ L + ((n/2 − cf)/f) · w, hvor L er nedre grænse for medianintervallet, cf den kumulerede frekvens før dette interval, f frekvensen i intervallet, og w intervalbredden.

• Indkomststatistik: “Medianen for husholdningsindkomsten er 330.000 kr.”
• Huspriser: “Medianen for salgspriser i regionen var 2,7 mio. kr., hvilket dæmper effekten af få meget dyre handler.”
• Sundhedsvæsen: “Medianen for ventetid til operation er 21 dage.”
• IT og netværk: “Medianen for svar-tider er 48 ms; gennemsnittet er skævt pga. enkelte timeouts.”
• Kvalitetskontrol: “Vi bruger medianfiltrering til at reducere støj i måleserier.”
• Geometri: “Medianen fra hjørnet A skærer side BC i dens midtpunkt.”
• Vejanlæg: “Ulykken skete, da bilen krydsede medianen på motorvejen.”

Medianen sammenlignes ofte med middelværdi (gennemsnit) og typetal (mode):

• Middelværdi: summen delt med antal observationer; følsom over for outliers.
• Median: midterværdi; robust mod outliers og skævhed.
• Typetal: hyppigste værdi; bruges især for kategoriske/hele tal.

• Midterværdi (uformelt synonym i statistisk sammenhæng).
• Medianlinje (geometri, om linjen i trekanten).
• Midterrabat (trafik, om vejens median).
• Percentiler/kvartiler (beslægtede mål: medianen er 50.-percentil/2. kvartil).

Der findes ikke et egentligt antonym til medianen som statistisk begreb. Kontrasterende begreber kan være:

• Minimum og maksimum (yderpunkter i stedet for centrum).
• Middelværdi (et centralt mål der, modsat medianen, er følsomt for outliers).
• Typetal (fokus på hyppighed frem for rang/position).

Medianen som idé optræder implicit i ældre astronomi og geodæsi, hvor man søgte robuste midterpositioner. Som statistisk term blev “median” udbredt i 1800-tallet, bl.a. gennem Francis Galtons arbejde med fordelinger og beskrivende statistik. I geometri har trekantens median været kendt siden antikken, og dens skæringspunkt har klassiske mekaniske tolkninger (tyngdepunkt).

• Medianabsolut afvigelse (MAD): robust spredningsmål baseret på medianen af |x − median|.
• Interkvartilbredde (IQR): Q3 − Q1; fokus på den midterste halvdel af data.
• Trimmet middelværdi: gennemsnit efter at have fjernet de yderste p% af data.
• Geometrisk median: punkt i planet/rummet der minimerer summen af afstande til observationer.
• Medianfilter: billed- og signalbehandling; erstatter hver værdi med medianen i et lokalt nabolag.

• Ikke at sortere data: Medianen kræver ordning af observationerne.
• Lige antal observationer: Husk at tage gennemsnittet af de to midterste.
• Nominale data: Median giver kun mening for ordinale eller numeriske data, ikke for rene kategorier uden orden.
• Vægte overses: Ved aggregering på tværs af grupper bør man ofte bruge vægtet median.
• Ujævne intervaller: For grupperede data med varierende intervalbredder skal man interpolere korrekt.

I en trekant ABC er medianen fra A linjen til midtpunktet M på BC. Egenskaber:

• De tre medianer skærer hinanden i centroiden G.
• AG deles af G i forholdet 2:1 (AG:GM = 2:1).
• Medianer bruges i konstruktioner, massefordeling, computergeometri og grafik.

I trafiksammenhæng er medianen (midterrabatten) det fysisk eller malet adskillelsesområde mellem modsatrettede kørespor. Den kan bestå af græs, betonbarrierer, autoværn eller markeringsfelter og har til formål at forbedre sikkerheden og styre trafikflow.

• Ulige n: Lønninger [28, 30, 32, 35, 140] (tusinde) → sorteret som vist, median = 32. Outlieren 140 påvirker ikke medianen nævneværdigt.
• Lige n: Karakterer [02, 4, 7, 10, 10, 12] → median = (7 + 10)/2 = 8,5.
• Vægtet: Indkomstgrupper (andel i %) og midtpunkter:

  30% af 200k, 50% af 300k, 20% af 600k → vægtet median = 300k (kumulativ andel passerer 50%).

• “Medianen i datasættet er 12, så halvdelen af observationerne ligger over 12.”
• “Medianen for huspriser steg 3% sidste år.”
• “Medianen fra A rammer midtpunktet på BC og mødes med de øvrige medianer i trekantens tyngdepunkt.”
• “Motorvejens median er forsynet med betonbarrierer.”