N i matematik betydning

“n” i matematik er en symbolsk bogstavvariabel, der typisk står for et helt, ikke-negativt eller positivt tal - ofte et naturligt tal - brugt som tæller, indeks, dimension, prøve-størrelse, eksponent eller generel parameter

Det fungerer som en pladsmarkør for “et vilkårligt antal”, fx den n-te term i en følge, en n×n-matrix, eller et algoritmens inputstørrelse n.

Betydning og grundlæggende konventioner

I de fleste sammenhænge betyder n “et generelt helt tal”, ofte forudsat at n ≥ 1 (eller n ≥ 0, afhængigt af konventionen). Man skriver typisk:

  • n ∈ ℕ for at markere, at n er et naturligt tal. Nogle bruger ℕ = {1,2,3,…}, andre ℕ₀ = {0,1,2,…}. Dette bør angives eksplicit i teksten.

  • n ∈ ℤ hvis n blot antages at være et helt tal (negativt tilladt).

  • Notation som n → ∞ bruges i grænseovergange for at udtrykke, at n vokser uden grænse.

Funktionen af “n” afhænger af konteksten: i en sum er n ofte øvre grænse; i statistik er n ofte stikprøvestørrelse; i algebra er “n” grad eller eksponent; i geometri er det dimension; i kompleksitetsteori er det inputstørrelse.

Etymologi og notation

Symbolet n er det 14. bogstav i det latinske alfabet, historisk afledt af græsk nu (Ν, ν) og fønikisk nun. I matematisk notation blev bogstaver systematisk brugt fra renæssancen og frem, især efter René Descartes’ skik med at bruge bogstaver sidst i alfabetet (x, y, z) til ubekendte og tidlige bogstaver (a, b, c) til konstanter. “n” fik hurtigt rollen som diskret tæller eller indeks, bl.a. hos Euler og efterfølgende analysetradition.

På dansk skrives “n-te” (fx den n-te rod, den n-te afledning). Bindestreg anbefales frem for apostrof: “n-te” snarere end “n’te”.

Almindelige anvendelser og eksempler

Nedenfor ses en række udbredte betydninger og brugsmønstre for n, med illustrative eksempler.

Kontekst Typisk betydning Eksempel
Følger/serier Indeks for term Følgen an = 1/n; Partialsummen Sn = ∑k=1n ak
Sum- og produkttegn Øvre grænse ∑k=1n k = n(n+1)/2; ∏k=1n k = n!
Kombinatorik Antal elementer “n vælg k”: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
Algebra Grad/eksponent Polynomium af grad n: p(x)=anxn+…+a0
Rødder/potenser n-te rod √[n]{x} = x1/n (defineret for passende x og n)
Differentialregning n-te afledning f(n)(x) er den n-te afledte af f
Lineær algebra Dimension/størrelse ℝn er n-dimensionelt rum; n×n-matrix
Talteori Vilkårligt helt tal φ(n) (Eulers totient); a ≡ b (mod n); gcd(m,n)
Statistik Stikprøvestørrelse Gennemsnit: x̄ = (1/n)∑i=1n xi
Geometri/topologi Dimension n-simpleks; n-kugle; n-manifold
Informatik/kompleksitet Inputstørrelse O(n), O(n log n), O(2n)
Grafteori Antal knuder Graf med n hjørner; løbetid O(n + m)
Kodeteori/information Bloklængde/bitantal n bits kan repræsentere 2n tilstande

Udvidede eksempler

  • Harmoniske tal: Hn = ∑k=1n 1/k.

  • Fibonacci: Fn defineret ved Fn = Fn−1 + Fn−2 med F0=0, F1=1.

  • Grænse: limn→∞ (1 + 1/n)n = e.

  • Asymptotik: n! ~ √(2πn) (n/e)n (Stirlings formel).

  • Binomialteoremet: (x+y)n = ∑k=0n C(n,k)xkyn−k.

  • n-te rødder af enhed i ℂ: zn=1 har n løsninger e2πi k/n, k=0,…,n−1.

  • Dynamik/iteration: xn+1 = f(xn) med start x0.

  • Modularitet: aφ(n) ≡ 1 (mod n) når gcd(a,n)=1 (Eulers sætning).

  • Statistik: Standardfejl af middelværdi ~ s/√n.

  • Matrixpotenser: An = A⋯A (n gange), for kvadratiske matricer A.

Områder, antagelser og randtilfælde

  • Naturlige tal: Ofte antages n ∈ {1,2,3,…}. Angiv hvis 0 er tilladt (fx 0! = 1 og tomme produkter = 1).

  • Ikke-helt n: Udtryk som x1/n kræver typisk n ∈ ℕ. For rationelle/virkelige “n” ændres betydningen og kræver forsigtighed.

  • Paritet: For n-te rødder over ℝ gælder særlige regler: ulige n tillader negative radikanter; lige n gør normalt ikke.

  • Domæneangivelse: Skriv gerne “for n ∈ ℕ” eller “for alle n ≥ n₀” for at undgå tvetydighed.

Synonymer og relaterede termer

  • Synonymer (funktionelt): indeks, tæller, løbevariabel, parameter, pladsmarkør.

  • Relaterede symboler:

    • k, m, i, j: anvendes ofte som alternative eller underordnede indeks.

    • ℕ, ℤ: mængder af naturlige/hele tal, som n typisk tilhører.

    • n-ær (n-ary), n-foldig, n-dimensionel, n×n: afledte betegnelser med “n” som indlagt parameter.

Antonymer og kontraster

  • Konstant vs. variabel: n bruges som variabel; kontrast: en navngiven konstant (fx C) eller et specifikt tal.

  • Diskret vs. kontinuert: n er ofte diskret (heltal), modstykke er en kontinuert variabel (fx x ∈ ℝ).

  • Finit vs. uendelig: n bruges både finit og i grænse n → ∞; kontrasterer med endelige, faste størrelser.

Historisk udvikling

Brugen af bogstaver i algebra blev standardiseret i 1600-tallet. “n” som tæller og indeks slog igennem med den voksende formalisering af serier og grænseprocesser i 1700-tallet (Euler m.fl.). I 1800-tallets analyse og talteori blev “n” normen for et generelt helt tal, og i 1900-tallets statistik og informatik fik “n” centrale roller som stikprøvestørrelse og inputstørrelse. Den moderne, ensartede anvendelse gør “n” til et af de mest genkendelige matematiske symboler.

Notationsvarianter og stil

  • n-te (bindestreg) foretrækkes. Eksempler: n-te rod, n-te afledning, n-te term.

  • Undgå forveksling med græsk “ν” (nu) i skrifttyper, hvor ν kan ligne v.

  • Brug konsistent domæneangivelse: “Lad n ∈ ℕ” tidligt i teksten.

  • Skeln mellem samme “n” i forskellige roller i samme bevis/afsnit (omdøb fx til m, k ved behov).

Typiske faldgruber

  • Uklart domæne: Er n ≥ 0, n ≥ 1, eller n vilkårligt helt? Angiv det.

  • Blandet notation: Samme bogstav til både stikprøvestørrelse og eksponent kan forvirre.

  • Randtilfælde: Vær opmærksom på n=0, især i produkter, fakultet og tomme summer.

  • Paritet: I rødder/potenser over ℝ er forskel på lige og ulige n væsentlig.

Flere anvendelige miniformler med n

  • ∑k=1n k2 = n(n+1)(2n+1)/6

  • ∑k=0n rk = (1−rn+1)/(1−r) for r ≠ 1

  • (1−x)−1 = ∑n=0∞ xn for |x| < 1 (n som termindeks)

  • Antal under-mængder af en mængde med n elementer: 2n

  • Antal permutationer af n elementer: n!

Se også

  • m, k, i, j - beslægtede indeksbogstaver

  • ℕ, ℤ - mængder for naturlige og hele tal

  • n-ær, n-te, n×n, ℝn - afledte udtryk

  • Big-O - asymptotisk notationsfamilie hvor n er inputstørrelse

Indholdsfortegnelse