Produktet i matematik betydning

I sin mest grundlæggende form er produktet resultatet af at gange to tal, fx 3 · 4 = 12. De to tal 3 og 4 er faktorer, og 12 er produktet. Begrebet generaliseres på tværs af matematikken:

• Reelle/hele tal: a · b er et reelt/hele tal.
• Brøker: (a/b) · (c/d) = (ac)/(bd), for b, d ≠ 0.
• Polynomier: Produktet fås ved at multiplicere og samle led.
• Matriser: Produktet AB er en ny matrix (når dimensionerne passer).
• Vektorer: Skalarprodukt (indre produkt) og krydsprodukt (i 3D) er særlige “produkter”.
• Mængder: Kartesisk produkt A × B er mængden af ordnede par (a, b) med a ∈ A og b ∈ B.
• Abstrakt algebra: Direkte produkt af grupper/ringe, tensorprodukt af vektorrum m.m.
• Uendelige produkter: Et produkt over uendeligt mange faktorer, hvis det konvergerer.

Multiplikation og produkter noteres på flere måder:

• Binær multiplikation: a · b, a × b, ab (implicit), eller a * b (især i programmering).
• Produktnotation: Π-tegnet. Fx Π_i=1ⁿ a_i = a₁ · a₂ · … · a_n.
• Tomt produkt: Π over en tom indeksmængde defineres som 1 (identitetselementet for multiplikation).
• Nultegn: × må ikke forveksles med variablen x; i højere matematik bruges ofte prik (·) eller implicit multiplikation.

• Kommutativitet: a · b = b · a (gælder for tal; ikke for matriser, vektorkrydsprodukt m.m.).
• Associativitet: (a · b) · c = a · (b · c).
• Distributivitet: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Identitetselement: a · 1 = a.
• Multiplikativ invers: a · (1/a) = 1 for a ≠ 0.
• Nulprodukt-sætningen: a · b = 0 medfører a = 0 eller b = 0 (i talringe uden nuldeler).
• Tegnsregel: (+)·(+) = +, (−)·(−) = +, (+)·(−) = −.
• Potensregler: a^m · aⁿ = a^m+n, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

• Hele tal: 7 · 8 = 56; 12 · 0 = 0; (−3) · 5 = −15; (−4) · (−2) = 8.
• Brøker: (2/3) · (9/4) = 18/12 = 3/2.
• Decimaltal: 1,2 · 0,5 = 0,6.
• Areal/rumfang: Rektangels areal = længde · bredde; Kasse: V = l · b · h.
• Hastighed/energi: Arbejde = kraft · strækning; Effekt = kraft · hastighed (i passende retning).
• Sandsynlighed: For uafhængige hændelser A og B: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
• Kombinatorik: Produktreglen: Antal muligheder = (valg 1) · (valg 2) · …
• Polynomier: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10.
• Matriser:

  [1 2; 0 1] · [3 0; 4 1] = [1·3+2·4, 1·0+2·1; 0·3+1·4, 0·0+1·1] = [11, 2; 4, 1].

• Vektorer (skalarprodukt): (1, 2, 3) · (4, 0, −1) = 1·4 + 2·0 + 3·(−1) = 1.
• Vektorer (krydsprodukt): i × j = k; j × i = −k.
• Funktioner: (fg)(x) = f(x) · g(x); log(ab) = log a + log b (a,b > 0).
• Uendeligt produkt: Π_n=1^∞ (1 + 1/2ⁿ) konvergerer til en endelig værdi.

• Kartesisk produkt (A × B): Mængden af ordnede par (a, b). Bruges i geometri, relationer og funktioner.
• Direkte produkt: Inden for grupper/ringe: konstruerer en ny struktur af to kendte.
• Indre produkt: Generaliserer skalarprodukt; definerer længde og vinkel i vektorrum.
• Krydsprodukt: Vektor i 3D vinkelret på to givne vektorer; størrelse = |u||v|sinθ.
• Tensorprodukt: Konstruerer vektorrum/lineære afbildninger med specifikke universal-egenskaber.
• Produktmål og produkttopologi: “Produkt” i sandsynligheds- og topologiteori.
• Euler-produkter: Repræsenterer visse Dirichlet-rækker som produkter over primtal.

Ordet “produkt” kommer via fransk produit fra latin productum (det, der er “ført frem”/“frembragt”), af producere (at føre frem). I matematisk sammenhæng har “produkt” siden renæssancen betegnet resultatet af multiplikation; på dansk er brugen konsolideret med fremvæksten af skolearithmetik i 1700-1800-tallet.

• Oldtid: Babylonierne brugte multiplikationstabeller og kileskrift; grækerne forbandt produkter med areal og volumen.
• Indisk-arabisk tradition: Brahmagupta og senere Al-Khwarizmi beskrev algoritmer for multiplikation.
• Middelalder/renæssance i Europa: Fibonacci populariserede positionssystemet; “skrå-” og “gittermultiplikation” blev udbredt.
• Symbolik: William Oughtred populariserede × (1631); Leibniz introducerede prikken ·; Euler indførte Π-notationen for produkter.
• Moderne generaliseringer: 1800-1900-tallet udvidede produktbegrebet til abstrakte algebraiske og analytiske rammer (indre/tensor-/direkte produkter, uendelige produkter).

• Synonymer (i praksis): resultat af multiplikation, gangestykke-resultat, multiplicativt resultat.
• Beslægtede udtryk: faktor, multiplikation, gange, produkttegn (×, ·), produktnotation (Π), skalarprodukt, krydsprodukt, kartesisk produkt.

I snæver forstand har “produkt” ikke et egentligt antonym, men i aritmetik kontrasteres det ofte med resultaterne af de øvrige grundlæggende operationer:

• Sum: resultat af addition.
• Differens: resultat af subtraktion.
• Kvotient: resultat af division (division er den inverse operation til multiplikation for a ≠ 0).

• Symbolforveksling: × vs. variablen x; brug hellere · eller implicit multiplikation i avanceret notation.
• Ikke-kommutative produkter: AB ≠ BA for matriser; u × v ≠ v × u.
• Forkert distribution: a(b + c) = ab + ac (ikke ab + c).
• Nulprodukt: Hvis ab = 0, må mindst én faktor være 0 (gælder ikke i strukturer med nuldeler).
• Fortegn: Minus gange minus giver plus.
• Tomt produkt: Ofte overset at Π over tom indeksmængde er 1.
• Regneregler for logaritmer: log(ab) = log a + log b kræver a, b > 0 i de reelle tal.

• Skolemetoder: Standard (lang) multiplikation, gittermetoden, kompensation.
• Mentalregning: Opdeling (34 · 12 = 34·10 + 34·2), afrunding og korrektion, brug af kvadrater (a + b)(a − b) = a² − b².
• Algebraiske værktøjer: Primfaktoropdeling, potensregler, faktorisering, logaritmer (omdanner produkter til summer).
• Algoritmer: Karatsuba, Toom-Cook, FFT-baseret multiplikation til meget store tal.

• Dimensioner og enheder: Produkter af enheder giver sammensatte enheder (N·m, m², m³).
• Komplekse tal: |zw| = |z||w| og arg(zw) = arg(z) + arg(w) (mod 2π).
• Determinanter: Determinanten af en produktmatrix opfylder det(AB) = det(A)·det(B).

• Multiplikation
• Faktorer og primtal
• Skalarprodukt og krydsprodukt
• Kartesisk produkt
• Produktnotation (Π)
• Nulprodukt-sætningen
• Logaritmer