Udfaldsrum betydning

Udfaldsrum (ofte skrevet med det græske symbol Ω) er den samlede mængde af alle mulige udfald i et stokastisk forsøg. Hvert enkelt element i udfaldsrummet repræsenterer ét muligt resultat (en elementarhændelse). Udfaldsrummet skal være:

• Udtømmende - det indeholder alle relevante muligheder.
• Gensidigt udelukkende - to forskellige elementarhændelser kan ikke ske samtidigt i ét enkelt forsøg.

Eksempler: Ved ét terningekast er udfaldsrummet {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ved et møntkast {krone, plat}; ved måling af temperatur kan udfaldsrummet være et interval af reelle tal, f.eks. [−30, 50].

Ordet er en sammensætning af udfald (resultat) og rum (mængde/område). Som matematisk fagterm blev det udbredt i forbindelse med den moderne, aksiomatiske sandsynlighedsteori, især i kølvandet på Kolmogorovs formulering (1933), hvor man formelt arbejder med triplen (Ω, F, P): udfaldsrum, hændelsesrum og sandsynlighedsmål.

I den aksiomatiske tilgang beskrives sandsynligheder via triplen (Ω, F, P):

• Ω (udfaldsrum): mængden af alle mulige udfald.
• F (hændelsesrum eller sigma-algebra): en samling delmængder af Ω (hændelser), som er lukket under komplement, tællelig union og snit.
• P (sandsynlighedsmål): en funktion P: F → [0,1], som tildeler hver hændelse en sandsynlighed med P(Ω)=1.

En tilfældig variabel er en funktion X: Ω → ℝ (eller et andet målrumsområde), som associerer et tal eller en vektor til hvert udfald.

• Møntkast: Ω = {krone, plat}
• Én terning: Ω = {1,2,3,4,5,6}
• To terninger (ordnet par): Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1..6}}
• Korttræk fra standardspil: Ω = mængden af alle 52 kort; ved to kort uden tilbagelægning: ordnede par af forskellige kort
• Roulette (europæisk): Ω = {0,1,2,...,36}
• Vejrtilstande: Ω = {sol, skyet, regn, sne} (groft modelleret)
• Maskinstatus: Ω = {i drift, nedbrudt}
• Kvalitetskontrol: Ω = {godkendt, afvist}
• Antal kundebesøg pr. time: Ω = {0,1,2,...}
• Reaktionstid i sekunder: Ω = [0,∞)
• Fodboldkamp: Ω = {H, U, B} eller mere detaljeret Ω = {(hjemme-mål, ude-mål) | ikke-negative heltal}
• Klinisk forsøg (binært udfald): Ω = {respons, ingen respons}
• Tid-til-hændelse (survival): Ω = [0,∞) ∪ {censureret}
• Markovkæde: Ω = mængden af tilstande, ofte endelig eller tællelig
• Tekstklassifikation: Ω = {positiv, neutral, negativ} (labels)

Et godt udfaldsrum afspejler det spørgsmål, man vil besvare. Man kan ofte vælge mellem en grov og en fin beskrivelse:

• Grov: Fodboldkamp: Ω = {H,U,B} - egnet hvis man kun vil modellere 1X2.
• Fin: Ω = {(x,y) | x,y ∈ ℕ₀} - egnet hvis man vil modellere målscores og målskillinger.

For kontinuerte modeller indfører man typisk en sigma-algebra (fx Borel-mængder) og arbejder med intervaller frem for enkelte tal. I sammensatte eksperimenter bruges produkt-rum, fx Ω = Ω₁ × Ω₂, og uafhængighed kan derefter defineres på dette grundlag.

• Udfald: Et enkelt element i Ω (elementarhændelse).
• Hændelse: En delmængde af Ω (kan bestå af flere udfald).
• Hændelsesrum (sigma-algebra): Den struktur F af hændelser, som P kan måle.
• Sandsynlighedsmål: Funktion P, der tildeler hændelser sandsynligheder.
• Tilfældig variabel: Funktion fra Ω til et målrumsområde (ofte ℝ).
• Tilstandsrum: I stokastiske processer/Markovkæder svarer det til mængden af mulige tilstande; ofte tæt på udfaldsrummets rolle.
• Produkt-rum: Udfaldsrum for kombinerede forsøg, dannet som kartesisk produkt.

• Synonymer (dansk, fagligt): prøverum (fagterm), udfaldsmængde, (mere sjældent) sampelrum.
• Bemærk: Ordet prøverum er tvetydigt i almindelig sprogbrug (også “omklædnings-/prøverum” i butik) og undgås derfor ofte til fordel for udfaldsrum.
• Engelsk: sample space.
• Tysk: Stichprobenraum eller Ergebnisraum.

Der findes ikke et veldefineret antonym i faglig forstand. Relevante kontraster er:

• Deterministisk system: hvor der i praksis kun er ét muligt udfald (Ω har ét element).
• Et bestemt udfald: et enkelt element i Ω, i kontrast til hele mængden af muligheder.

Begrebet er implicit i klassisk sandsynlighed (fx i terningespil), men blev formaliseret i det 20. århundrede sammen med målteoretiske redskaber. I moderne statistik, maskinlæring, ingenørvidenskab og aktuarmatematik er valget af udfaldsrum et første og afgørende modelleringsskridt.

• Ikke-udtømmende rum: Man glemmer mulige udfald (fx uafgjort i sport).
• Overlappende udfald: “røde kort” og “hjerter” i kortspil er ikke gensidigt udelukkende som elementarhændelser, medmindre man definerer udfaldene korrekt.
• Blandet detaljeringsniveau: Nogle udfald er detaljerede (konkrete kort), andre er aggregerede (kun kulør); det skaber inkonsistens.
• Forveksling af Ω og F: I kontinuerte tilfælde kan ikke alle delmængder måles; man arbejder med en sigma-algebra, ikke hele potensmængden.

• Ordklasse: substantiv, intetkøn.
• Bøjning: ental: et udfaldsrum, bestemt: udfaldsrummet; flertal: (flere) udfaldsrum, bestemt flertal: udfaldsrummene.
• Stavning: sammenskrevet (ikke “udfalds rum”).

Udfaldsrum er den grundlæggende mængde af mulige resultater, som sandsynligheder defineres på. Et klart og velvalgt udfaldsrum er forudsætningen for meningsfuld sandsynlighedsregning, statistisk modellering og tolkning af resultater.